Teoreman - Teorema Barisan Monoton

Barisan Monoton

Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun  monoton.

Definisi 2.1.1. Diberikan barisan bilangan real X = (xn)
Barisan X dikatakan naik (increasing) jika xn ≤ xn+1,  untuk semua n ∈N
Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika xn < xn+1 , untuk semua n∈N
Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika xn ≥ xn+1 , untuk semua n ∈N
Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika xn > xn+1 , untuk semua n∈N

Definisi 2.1.2. Barisan dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik atau X turun.

Definisi 2.1.3. Teorema Konvergensi Monoton
Jika X = (xn) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka X =(xn) konvergen dengan

Jika X = (x_n) Turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka X =(xn) konvergen dengan

Bukti.
Karena X = (x_n) terbatas ke atas, maka terdapat M∈N sedemikian hingga x_(n )≤M untuk semua n∈N. Namakan A ={x_n ∶┤  ├ n∈N}, maka A⊂R, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap R maka supremum A ada, namakan x = sup A. Diambil ℇ>0, maka terdapat K∈N sedemikian hingga . Karena X naik monoton, maka untuk n≥K berlaku

atau

 Jadi, terbukti bahwa X = (x_n) konvergen ke x = lim(x_n) =


Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).
Contoh 2.1.3 Diketahui barisan  (y_n)dengan y_1=1 dan y_(n+1)=√(2+y_n )  ,n≥1 Apakah
y_nkonvergen? Jika ya, tentukan lim( y_n)
Jawab. Akan ditunjukkan menggunakan induksi bahwa (y_n ) naik monoton. Untuk n 1, diperoleh y_2=√(2+1)=√3≥1 (benar). Misalkan benar untuk n k , yaitu  y_(k+1)=√(2+y_k )=y_(k+1)≥y_k, akan dibuktikan benar untuk n k 1, yaitu
y_(k+2)=√(2+y_(k+1) )≥√(2+y_k )=y_(k+1)
Berarti benar untuk n k 1. Jadi, menurut induksi (y_n )  naik monoton. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa (y_n ) terbatas ke atas (oleh 3), yaitu y_(n )≤3 untuk semua n∈N.
Untuk n 1 benar, sebab y_(1 )1≤ 3. Misalkan benar untuk n k , yaitu y_(k )≤3  Maka
y_(k+1)=√(2+y_k )≥√(2+3)=√5≤3 yang berarti benar untuk n k 1. Jadi, menurut induksi terbukti bahwa y_(n )≤3, untuk semua n∈N. Karena (y_n ) naik monoton dan terbatas ke atas, maka menurut Teorema 2.3.4 barisan (y_n ) konvergen. Misalkan  = lim⁡y_n , maka diperoleh
y=√(2+y)⟺y^2=2+y⟺y^2-y-2=0 ⟺(y-2)(y+1)=0
Diperoleh y 2 atau y 1. Untuk y 1 jelas tidak mungkin, sebab 1〖≤y〗_n≤3
untuk semua n∈N. Jadi, terbukti bahwa y_n konvergen dan lim〖 (y〗_n) 2


Barisan Bagian
Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences) dari suatu barisan bilangan real.
Definisi 2.2.1. Diberikan barisan bilangan real X = (x_n) dan bilangan asli naik tegas n1< n2<…..  nk<…...  Barisan X’ = (x_n) dengan
(x_(n_k ) )=(x_(n_1 ),x_(n_2 ),….,x_(n_k )…..)
disebut dengan barisan bagian atau sub barisan (subsequences) dari X.
Contoh 2.2.1 Diberikan X :=(1/1,1/2,1/3,….,1/n,…)


Teorema 2.2.2 Jika  X = (x_n) konvergen ke x, maka setiap barisan bagian X’ = (〖x_n〗_k) dari X juga konvergen ke x.
Bukti.  Diambil ε>0. Karena x_n→x, maka terdapat K(ε)∈N sedemikian hingga untuk setiap n ≥ K(ε) berlaku |x_n-x|<ε Karena untuk setiap n)∈N berlaku nk+1 ≥ nk Maka untuk setiap n ≥k≥K(ε) Sehingga
|〖x_n〗_k-x|<ε
Terbukti bahwa X’ = (〖x_n〗_k) Konvergen ke x
 
Teorema 2.2.2 Diberikan barisan bilangan real  X = (x_n), maka pernyataan berikut ini ekuivalen.

Bukti
(i) ⇒ (ii) Jika (x_n) tidak konvergen ke x, maka untuk suatu ε_0>0   tidak mungkin ditemukan k∈N sedemikian hingga untuk setiap n_k≥k berlaku  |〖x_n〗_k-x|<ε_0  Akibatnya tidak benar bahwa untuk setiap k∈N, n≥k memenuhi |〖x_n〗_k-x|<ε_0  Dengan kata lain, untuk setiap     k∈N  terdapat n_k∈N sedemikian hingga n_k≥k dan            |〖x_n〗_k-x|≥ε_0
(ii) ⇒(iii) Diberikan ε_0>0    sehingga memenuhi (ii) dan diberikan n_1∈N sedemikian hingga n_1≥1 dan |〖x_n〗_1-x|≥ε_0   Selanjutnya, diberikan n_2∈N sedemikian hingga n_2>n_1  dan |〖x_n〗_2-x|≥ε_0. Demikian seterusnya sehingga diperoleh suatu barisan bagian X’ = (〖x_n〗_k) sehingga berlaku|〖x_n〗_k-x|≥ε_0  untuk semua k∈N
(iii) ⇒ (i) Misalkan  X = (x_n)  mempunyai barisan bagian X’ = (〖x_n〗_k) yang memenuhi sifat (iii). Maka X  tidak konvergen ke x, sebab jika konvergen ke x, maka X’ = (〖x_n〗_k) juga konvergen ke x. Hal ini tidak mungkin, sebab X’ = (〖x_n〗_k) tidak berada dalam persekitaran V_(e_o ) (x)

Teorema 2.2.3 (Kriteria Divergensi) jika barisan bilangan real X = (x_n)  memenuhi salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen.
X mempunyai dua barisan bagian konvergen X’ = (〖x_n〗_k)  dan X ’’ = (〖x_r〗_k) dengan limit keduanya tidak sama.
X tidak terbatas.


Contoh 2.4.6. Tunjukkan bahwa barisan  (1,1/2,3 ,1/4,…) divergen.
Jawab. Namakan barisan di atas dengan Y=(y_n), dengan 1/n jika n genap, dany_n=n jika n ganjil. Jelas bahwa Y tidak terbatas. Jadi, barisan Y=(y_n), divergen.

Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa barisan bilangan real        X = (x_n)  pasti mempunyai barisan bagian yang monoton. Untuk membuktikan teorema ini, diberikan pengertian puncak (peak), x_m disebut puncak jika  x_m≥x_n untuk semua n sedemikian hingga n≥m. Titik x_m tidak pernah didahului oleh sebarang elemen barisan setelahnya. Perhatikan bahwa pada barisan yang menurun, setiap elemen adalah puncak, tetapi pada barisan yang naik, tidak ada elemen yang menjadi puncak.

Teorema 2.2.4 Teorema Barisan Bagian Monoton Jika X = (x_n) barisan bilangan real, maka terdapat barisan bagian dari X yang monoton.

Bukti. Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu X mempunyai tak hingga banyak puncak, dan X mempunyai berhingga banyak puncak.
Kasus I: X mempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik, yaitu 〖x_m〗_1  ,〖x_m〗_2  ,…..〖x_m〗_k,….. Maka 〖x_m〗_1≥ 〖x_m〗_2≥⋯.≥〖x_m〗_k,…..  Oleh karena itu, (〖x_m〗_k) merupakan barisan bagian yang turun (monoton).
Kasus II: X mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik, yaitu 〖x_m〗_1  ,〖x_m〗_2  ,…..〖x_m〗_k,….. . Misalkan s_1≔m_r+1  adalah indeks pertama dari puncak yang terakhir. Karena  〖x_s〗_1 bukan puncak, maka terdapat  s_2>s_1sedemikian hingga 〖x_s〗_1<〖x_s〗_2. Karena 〖x_s〗_2 bukan puncak, maka terdapat s_3>s_2 sedemikian hingga 〖x_s〗_2<〖x_s〗_3.. Jika proses ini diteruskan, diperoleh barisan bagian 〖x_s〗_1 yang naik (monoton).

Teorema 2.2.4 Teorema Bolzano-Weiertrass Setiap barisan bilangan real yang terbatas
pasti memuat barisan bagian yang konvergen.
Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas X = (x_n)  . Namakan S={x_n:n∈N}  range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak berhingga.
Kasus I: Diketahui S berhingga. Misalkan, S={x_1,x_2,…,x_t } maka terdapat m∈N dengan 1≤ m ≤ t dan barisan (r_k ∶k∈N ) dengan r_1<r_2<r_3<⋯ sehingga 〖x_r〗_1=〖x_r〗_2=⋯=x_m. Hal ini berarti terdapat barisan bagian (〖x_r〗_1:k∈N) yang konvergen ke x_m
Kasus II: Karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik cluster atau titik limit, namakan x titik limit S. Misalkan u_k=(x-1/k,x+1/k)  persekitaran titik x.
Untuk k = 1, maka terdapat  〖x_r〗_1∈S∩u_1, 〖x_r〗_1≠x sedemikian hingga |〖x_r〗_1-x|<1
Untuk k = 2, maka terdapat  〖x_r〗_2∈S∩u_2, 〖x_r〗_2≠x sedemikian hingga |〖x_r〗_2-x|<1/2
Untuk k = 3, maka terdapat  〖x_r〗_3∈S∩u_3, 〖x_r〗_3≠x sedemikian hingga |〖x_r〗_3-x|<1/3

Demikian seterusnya, sehingga diperoleh:
Untuk k = n, maka terdapat  〖x_r〗_n∈S∩u_n, 〖x_r〗_n≠x sedemikian hingga |〖x_r〗_n-x|<1/n
Ambil ε_0>0 . Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat K∈N sedemikian hingga          1/K< ε Maka untuk setiap n≥ K berlaku |〖x_r〗_n-x|<1/n≤1/K<ε.  Terbukti bahwa 〖x_r〗_n  konvergen ke x dengan 〖x_r〗_n  barisan bagian 〖(x〗_n)

Teorema 2.2.5. Diberikan barisan bilangan real terbatas X = (x_n)  dan diberikan x∈R yang mempunyai sifat bahwa setiap barisan bagian dari X konvergen ke x. Maka barisan X konvergen ke x.
Bukti. Misalkan M > 0 adalah batas dari barisan X sehingga |x_n |≤M untuk semua  n∈N. Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menggunakan Teorema 2.4.4 terdapat ε_0>0 dan barisan bagian X’ = (〖x_n〗_k)  sedemikian hingga |〖x_n〗_k-x|≥ε_0 untuk semua K∈N . Karena X’ barisan bagian dari X, maka M juga batas dari X’. MenggunakanTeorema Bolzano-Weierstrass berakibat bahwa X’memuat barisan bagian X’’. Karena X’’ juga barisan bagian dari X, maka X’’uga konvergen ke x. Dengan demikian, akan selalu berada dalam persekitaran V_(e_o ) (x). Timbul kontradiksi, yang benar adalah X selalu konvergen ke x.