TEOREMA-TEOREMA LIMIT BARISAN

3.2 TEOREMA-TEOREMA LIMIT BARISAN

Dalam perhitungan limit suatu barisan bilangan real, sering kali tidak dapat dilakukan dengan menggunakan definisi secara langsung. Konvergensi suatu barisan dapat diuji dengan beberapa teorema limit barisan.

3.2.1 Definisi

Barisan bilangan real X=(xn) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M>0 sedemikian sehingga ІxnІ ≤ M, untuk semua n є N.

Dari definisi 3.2.1 jelas terlihat bahwa X terbatas jika dan hanya jika {xnІ nє N} terbatas di R

3.2.2 teorema

Barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas.

Bukti :

Diberikan >0 sebarang

Barisan X=(xn) konvergen ke x, berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K(є)є N)∋[(∀ nє N) n ≥ K(є)→Іxn-xІ<

Untuk n ≥ K (є)diperoleh:

Іxn-xІ<⇔Іxn-xІ + ІxІ<ІxІ

⇔Іxn-x+xІ ≤ Іxn-xІ + ІxІ<+ ІxІ

⇔Іxn-x+xІ<ІxІ

⇔ІxnІ<ІxІ

→ ІxnІ<ІxІ

Misalkan M1= ІxІ +

sup {Іx1І, Іx2І,..., Іxk-1І, M1 }

Berarti (∃ M>0)∋ ІxnІ≤ ∀n є N

... X terbatas.

Teorema

a). MisalkanX=(xn) danY=(yn )masing-masing barisan bilangan real yang konvergen ke x dan y, dan cє R, maka barisan-barisan:

(i) X +Y konvergenke x + y

(ii) X -Y konvergenke x -y

(iii) X.Y konvergenke xy

(iv) cX konvergenke cx

b). Jika X=(xn) konvergen ke x dan Z=(zn) barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke z dan z ≠0 maka barisan X/Z konvergen ke x/z

bukti a (i):

ambil >0 sebarang

Barisan X=(xn) konvergen ke x, berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K1(ℇ/2) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K1(ℇ/2)⟹Іxn-xІ<ℇ/2

Barisan Y=(yn) konvergen ke y, berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K2(ℇ/2) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K2(ℇ/2)⟹Іyn-yІ<ℇ/2

Pilih K(є)= sup {K1,K2} sehingga (∃K(є)є N)∋∀ nє N, n ≥ K berlaku

Іxn-xІ<ℇ/2 dan Іyn-yІ<ℇ/2

І(xn+yn)- (x+y)І ≤І(xn-x)+ (yn-y)І

1/2 ℇ1/2ℇℇ

... (∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K(є)⟹І(xn+yn)- (x+y)І<

lim (xn+yn)=x+y. Dengan kata lain, X+Y konvergen ke (x+y).

bukti a (ii):

Barisan X=(xn) konvergen ke x, berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K1(ℇ/2) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K1(ℇ/2)⟹Іxn-xІ<ℇ/2

Barisan Y=(yn) konvergen ke y, berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K2(ℇ/2) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K2(ℇ/2)⟹Іyn-yІ<ℇ/2

Pilih K(є)= sup {K1,K2} sehingga (∃K(є)є N)∋∀ nє N, n ≥ K berlaku

Іxn-xІ<ℇ/2 dan Іyn-yІ<ℇ/2

І(xn-yn)- (x-y)І ≤ І(xn-x)- (yn-y)І

1/2 ℇ1/2ℇℇ

... (∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K(є)⟹І(xn-yn)- (x-y)І<

lim (xn-yn)=x-y. Dengan kata lain, X-Y konvergen ke (x-y).

Bukti a (iii):

ambil >0 sebarang

Barisan X konvergen, berdasarkan teorema 3.2.2, maka X terbatas.

X terbatas⟹(∃M1>0) ∋ІxnІ<M1, ∀nє N. Perhatikan bahwa:

Іxn.yn- x.yІ= І(xn.yn-xn.y)+ (xn.y- x.yІ

                  ≤ І(xn.yn-xn.y)+ (xn.y- x.yІ

                  ≤ Іxn(yn-y)І+І(xn-x)yІ

                  =ІxnІІyn-yІ + Іxn-xІ ІyІ

                  ≤ M Іyn-yІ + M Іxn-xІ

Pilih M= sup {M1, ІyІ}

Sehingga diperoleh Іxn.yn- x.yІ < M І(yn-y)І + І(xn- x)І.

karena >0 sembarang dan M >0 maka ℇ/2M>0

Barisan X=(xn) konvergen ke x, danℇ/2M>0berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d)),

(∀>0) (∃K1(ℇ/2M) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K1(ℇ/2M)⟹Іxn-xІ<ℇ/2M

Barisan Y=(yn) konvergen ke y, danℇ/2M>0 berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K2(ℇ/2M) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K2(ℇ/2M)⟹Іyn-yІ<ℇ/2M

Pilih K(є)= sup {K1,K2} sehingga (∃K(є)є N)∋∀ nє N, n ≥ K berlaku

Іxn-xІ<ℇ/2M dan Іyn-yІ<ℇ/2M

Іxn.yn- x.yІ ≤ M Іyn-yІ +M Іxn-xІ

≤ M (ℇ/2M)+M (ℇ/2M) =ℇ

... (∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K(є)⟹Іxn.yn- x.yІ<]

lim (xn.yn)=x.y Dengan kata lain, X.Y konvergen ke (x.y).

Bukti a(iv)

Misalkan X=(xn) konvergen ke x.

misalkan Y=(yn)=(c,c,c,...) adalah suatu barisan konstan yang konvergen ke c. Karena X konvergen ke x dan Y konvergen ke c, maka berdasarkan (iii) diperoleh XY konvergen ke cx. Dengan kata lain, lim (cxn) = cx atau cX konvergen ke cx.

Bukti (b)

Misalkan X konvergen ke x dan Z konvergen ke z, z≠0.

Adib: X/Z konvergen ke x/z

Ambil>0 sebarang

Barisan Z konvergen ke z (z≠0), berarti (berdasarkan teorema 3.1.6(d))

(∀>0) (∃K1(ℇ) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K1(ℇ)⟹Іzn-zІ<ℇ

Ambil ℇo=1/2ІzІ , z≠0.

sehingga (∀ nє N) n ≥ K1(ℇ)berlakuІzn-zІ<1/2ІzІ

berdasarkan ketaksamaan segitiga jika (∀ nє N) n ≥ K1(ℇ)berlakuІzn-zІ<1/2ІzІz≠0⟹-1/2ІzІ ≤ -Іzn-zІ ≤ ІznІ - ІzІ

⟹ -1/2ІzІ≤ ІznІ – ІzІ

⇔  1/2ІzІ≤ ІznІ

⇔2/ІzІ ≥ 1/ІznІ

Akibatnya,  ∀ n ≥ K1(ℇ) juga berlaku:

│1/z_n –1/z│= │(z-z_n)/(z_(n.) z)│≤ 1/(〖│z〗_n z│)│zn-z│= 1/(│z││z│)│zn-z│= 2/(│z^(│2) ) │zn-z│.

Ambil >0 sebarang

barisan Z konvergen ke z, z≠0, dan ℇ/2│〖z│〗^2>0 menurut teorema 3.1.6(d) berarti

(∀>0) (∃K2(ℇ/2│〖z│〗^2) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K2( ℇ/2│〖z│〗^2 )⟹Іzn-zІ<ℇ/2│〖z│〗^2

Pilih K=sup {K1, K2} sehingga diperoleh 

│1/z_n –1/z│≤2/(│z^(│2) )│zn-z│<2/(│z^(│2) )  ℇ/2│〖z│〗^2=ℇ

... (∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n ≥ K(є)⟹│1/z_n  – 1/z│= <]

lim (1/z_n )=1/zatau barisan (1/z_n ) konvergen ke 1/z, z≠0

karena X konvergen ke x dan (1/z_n ) konvergen ke 1/z, z≠0, maka berdasarkan (iii) dapat disimpulkan X/Z konvergen ke x/z.

jadi jika X konvergen ke x dan Z konvergen ke z (z≠0) maka X/Z konvergen ke x/z.

Teorema

Jika X=(xn) barisan bilangan real yang konvergen ke x dan xn dan xn≥0, ∀nєNmaka lim(xn) = x ≥0.

secara simbolik dapat ditulis 

(xn) barisan bilangan real, x∈R

xn→x dan xn≥0⟹lim⁡(xn) = x≥0

Bukti :

andaikan x<0 

x<0 ⟹-x>0

X konvergen ke x⟹(∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n>K ⟹│xn -x│<ℇ

Pilih 𝜺o = -x>0

Sehingga(∃K(ε_0) ∈N)( ∀nє N) n≥K(ε_0) ⟹│xn -x│<𝜺o

                                                                          ⟹ x- 𝜺o < xn < x+𝜺o

                                                                                                                 ⟹ 2x < xn <0

Dengan demikian xn<0 untuk n≥ K(ε_0). Hal ini kontradiksi dengan xn ≥0 ∀nє N. Jadi pengandaian salah. Haruslah x≥0

3.2.5. Teorema

Jika X=(xn) dan Y=(yn) barisan-barisan bilangan real yang konvergen dan xn ≤ yn ∀nє N, maka lim(xn) ≤ lim(yn).

Bukti:

Misalkan Z=(zn)=Y-X

Karena xn ≤ yn, ∀nє N, maka zn ≥ 0, ∀nє N.

Menurut teorema 3.2.4 dan teorema 3.2.3 diperoleh

0 ≤ lim(zn)= lim (yn-zn)= lim(yn)- lim(xn) ⟹lim(xn) ≤ lim(yn)

... Jadi jika X dan Y barisan bilangan real yang konvergen dan xn ≤  yn ∀nє N maka lim(xn) ≤ lim(yn)

3.2.6  Teorema

Jika X=(xn)barisan bilangan real yang konvergen dan a≤ xn≤b ∀n є N, maka a ≤ lim (xn) ≤ b

Bukti:

Misalkan X=(xn)konvergen ke x.

Misalkan A=(a,a,a,...) dan B=(b,b,b,...) sedemikian sehingga a≤ xn≤b ∀n є N. Barisan A konvergen ke a barisan B konvergen ke b. Karena A,B, dan X barisan-barisan yang konvergen dan a≤ xn≤b ∀n є N maka berdasarkan teorema 3.2.5 diperoleh a= lim A ≤ lim (xn) dan lim(xn) ≤ lim B=b. Dengan kata lain, a ≤ lim(xn)≤b.

3.2.7 Teorema

Misalkan X=(xn), Y=(yn) dan Z=(zn)barisan-barisan bilangan real sedemikian sehingga xn ≤ yn ≤ zn, ∀n є N dan lim(xn)=lim(zn), maka Y=(yn) adalah konvergen dan lim(xn)=lim (yn)=lim(zn)

Bukti:

Misalkan w=lim(xn)= lim(zn)

Berdasarkan definisi kekonvergenan,

(∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n≥K(є) ⟹│xn -w│<𝜺 dan│zn -w│<𝜺]

Dari xn ≤ yn ≤ zn, ∀n є N diperoleh xn-w ≤ yn-w ≤ zn-w, ∀n є N

Akibatnya│yn -w│≤ sup {│xn -w│,│zn -w│}<ε,∀n≥K(є)

...(∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n≥K(є) ⟹│Yn -w│<𝜺 

... lim(yn)=w sehingga lim (xn)=lim(yn) =lim(zn).

3.2.8 Contoh

(a) Barisan ((-1)n) adalah tidak konvergen

Bukti:

Barisan X=((-1)n) adalah terbatas, tetapi teorema 3.2.2. tidak dapat diterapkan,karena teorema 3.2.2 tidak berlaku biimplikasinya.

Andaikan barisan X konvergen ke a

X konvergen ke a⟹ (∀>0) (∃K(є) ∈N)∋[(∀ nє N) n≥K(є) ⟹│xn -a│<𝜺]

Pilih 𝜺o =1, sehingga

(∃K(1) ∈N)∋[(∀ nє N) n≥K(1) ⟹│(-1)n - a│<1]

- Jika n ganjil⟹ │-1 - a│<1, sehingga diperoleh a < 0

- Jika n genap ⟹│1 - a│<1, sehingga diperoleh a > 0

Karena a < 0 dan 0 < a maka hal itu tidak mungkin. Dengan demikian pengandaian salah, haruslah barisan X tidak konvergen.

(b) lim (2n +1)/(n+5) =2

Bukti:

Karena barisan (2n+1) dan (2n+5) tidak konvergen (sebab barisan (2n+1) dan barisan (n+5) tidak terbatas) maka teorema 3.2.3 (b) tidak dapat diterapkan secara langsung. Jika ditulis  (2n +1)/(n+5) =(2 +( 1)⁄n)/(1+( 5)⁄n) maka diperoleh barisan-barisan (2+( 1)⁄n) dan (1+( 5)⁄n) yang masing-masing konvergen ke 2 dan 1 (≠0).

Sehingga menurut teorema 3.2.3 (b) diperoleh lim (2n +1)/(n+5) =  2/1 =2

(c) lim [2n/(n^2+1)] =0

Bukti:

Karena barisan (2n) dan (n2+1) tidak konvergen serta tidak terbatas maka T.3.2.3 (b) tidak dapat diterapkan secara langsung. Jika kita tulis 2n/(n^2+1) =2/(n+1⁄n) juga tidak dapat diterapkan karena barisan (n+1/n) tidak konvergen. Selanjutnya, jika ditulis2n/(n^2+1) =(2⁄n)/(1+1⁄n^2 ) maka T.3.2.3 (b) dapat dipakai, karena lim (2⁄n) =0 dan lim (1+1⁄n^2 ) = 1≠0. Sehingga didapatkan lim [2n/(n^2+1)] = 0/1 = 0.

(d) lim [sin⁡n/n] = 0

Bukti: 

Karena barisan (n) dan sin (n) tidak konvergen maka T.3.2.3 (b) tidak dapat diterapkan. Belum ditemukan suatu manipulasi aljabar yang dapat dipakai untuk menyederhanakan barisan tersebut agar T.3.2.3 (b) dapat diterapkan.

Karena -1 ≤ sin n ≤ 1 maka diperoleh (-1)/n ≤  sin⁡n/n≤1/n, ∀n є N.

Karena lim [-1/n] = lim [1/n] =0 maka menurut T.3.2.7 diperoleh [sin⁡n/n] = 0

Teorema 2.2.9. Jika X = (xn )→ x , maka  (│xn│) →│x│. Dan jika x= lim (xn) ⟹│x│=lim (│xn│)

Bukti. Diberikan ε > 0 . Karena X =(xn ) →x , maka ∃ K ∈N  ∋∀n≥K berlaku │xn -x│<ε . Menggunakan akibat Ketaksamaan

Segitiga, diperoleh bahwa n∈N berlaku

││xn│-│x││≤ │xn-x│< ε

Jadi, diperoleh bahwa││xn│-│x││≤ ε, atau │X│= (│xn│)→│x│

Teorema 2.2.10. Jika X= (xn)→x dan  xn ≥ 0, maka barisan bilangan real konvergen ke x dan xn ≥ 0. Maka lim (√Xn) →√x

Bukti:

 Menurut Teorema 2.2.5 diperolah bahwa x ≥ 0 . Akan ditunjukkan bahwa teorema benar untuk x = 0 dan x > 0 .

Kasus I: Jika x = 0 , diberikan ε>0 . Karena (xn)→x= 0, maka terdapat K∈N ∋ ∀n≥K berlaku

                  0 ≤ xn =  xn – 0 < ε^2

Sehingga diperoleh bahwa 0 ≤ √Xn<ε. Karena berlaku ∀ε>0, , maka terbukti bahwa (√Xn) →√x  .

Kasus II: Jika x > 0 , maka √x>0 . Diberikan ε>0 , maka terdapat K∈N ∋∀ n≥K berlaku │xn - x│< ε. Perhatikan bahwa

                                  √x – √x = (√(x_n )- √(x ))(√(x_n )+ √(x ))/(√(x_n )+ √(x )) = (x_n-x)/(√(x_n )+ √(x ))

Karena √(x_n )+ √(x ) ≥ 0, maka diperoleh

                                 │√(x_n )- √(x )│≤ [1/√x]│xn-x│< ε/√x

Karena berlaku ∀ε > 0, maka terbukti bahwa (√(x_n ))→ √x

                                   

Teorema 3.2.11 

Jika (xn) barisan bilangan real dengan L= lim (C ). Dan L< 1, maka (xn) konvergen dan lim (xn) = 0

Bukti:

Dipilih r∈R ∋L < r < 1. Diambil ε= r– L > 0. Karena lim (x_(n+1)/x_n  )=L, maka ∃K∈N ∋∀n≥K berlaku │x_(n+1)/x_n  - L│<ε.Karena

                                      

                                 │x_(n+1)/x_n │ -│L│≤ │x_(n+1)/x_n  - L│

maka

                                 │x_(n+1)/x_n │ -│L│< ε

Sehingga diperoleh

x_(n+1)/x_n -L<ε ⇔x_(n+1)/x_n <ε+L<L+r-L=r ⇔ xn+1<xnr

Jadi, ∀n≥K berlaku

0< xn+1<xnr<xn-1r2<xn-2r3<...<xkrn+1-k =x_k/r^k  rn+1

jika diambil c=x_k/r^k , maka diperoleh

0< xn+1<crn+1 ∀ n≥K

mengingat bahwa (rn)=0 (sebab 0<r<1), maka

 lim  (rn)=0⟹lim(rn+1)=0⟹lim(xn+1)=0⟹lim(xn)=0

jadi, terbukti bahwa (xn) konvergen dan lim(xn)=0