Barisan-barisan Divergen Murni

3.6. Barisan-barisan Divergen Murni
Untuk tujuan-tujuan tertentu dipandang baik sekali untuk mendefinisikan atau yang dimaksudkan dengan suatu barisan bilangan real (xn) yang “menuju ke ±∞“.
3.6.1. Definisi. Misalkan (xn) suatu barisan bilangan real.
(i). Kita katakan bahwa (xn) menuju ke + ∞ , dan ditulis lim (xn) = + ∞ , jika untuk setiap α∈R terdapat bilangan asli K(α) sedemikian sehingga jika n ≥ K(α), maka    xn > α.(ii).Kita katakan bahwa (xn) menuju ke - ∞, dan ditulis lim (xn) = - ∞,   jika  untuksetiap   β∈R terdapat bilangan asli K(β) sedemikian sehingga jika n  ≥   K(β), maka xn <  β .Kita katakan bahwa (xn) divergen murni dalam hal kita mempunyai lim  (xn) = +∞    dan (xn) = - ∞   .

3.6.2. Contoh-contoh
(a). lim (n) = + ∞   .
Kenyataannya,  jika  diberikan     α∈R,  misal  K(α)  sebarang  bilangan  asli sedemikian sehingga K(α ) > α  .(b). lim (n2) = + ∞   .
Jika K(α ) suatu bilangan asli sedemikian sehingga K(α  ) > α    , dan jika n
K(α ) maka kita mempunyai n2  ≥  n >  α . (c). Jika c > 1, maka lim (cn) = +∞   Misalkan c = 1 + b, dimana b >  , Jika diberikan  α∈R, misal K(α) suatu bilangan asli sedemikian sehingga K(α) > α/b. Jika n ≥  K(α) maka menurut ketaksamaan Bernoulli cn = (1 + b)n   ≥ 1 + nb > 1+ α > α . Oleh karena itu lim (cn) = +∞ . Barisan-barisan monoton khususnya adalah sederhana dalam memandang konvergennya. Kita telah melihat dalam Teorema Konvergensi Monoton 3.2.2 bahwa suatu barisan monoton adalah konvergen jika dan hanya jika terbatas. Hasil berikut adalah suatu reformulasi dari hasil tersebut di atas.3.6.3. Teorema. Suatu barisan bilangan real yang monoton divergen murni jika dan hanya jika barisan tersebut tidak terbatas.(a). Jika (xn) suatu barisan naik tak terbatas, maka lim (xn) = + ∞ (b). Jika (xn) suatu barisan turun tak terbatas, maka lim (xn) = - ∞ Bukti :(a). Anggaplah bahwa (xn) suatu barisan naik. Kita ketahui bahwa jika (xn) terbatas, maka (xn) konvergen. Jika (xn) tak terbatas, maka untuk sebarang  α∈R terdapat n(α)  ∈N sedemikian sehingga α < xn(α).  Tetapi karena (xn), kita mempunyai α < xn untuk semua n ≥ n(α ). Karena    sebarang, maka berarti lim (n) = +∞.Bagian (b) dibuktikan dengan cara yang serupa.
“Teorema perbandingan” berikut senantiasa akan dipergunakan dalam menunjukkan bahwa suatu barisan divergen murni. [Pada kenyataannya, tidak digunakan secara implisit dalam contoh 3.6.2 (c)].
3.6.4. Teorema. Misalkan (xn) dan (yn) dua barisan bilangan real dan anggaplah bahwa(*)                         xn   ≤  yn untuk semua n ∈N . (a). Jika lim (xn) = + ∞, maka lim (yn) = + ∞. (b). Jika lim (yn) = - ∞, maka lim (xn) = - ∞ .Bukti :
(a) Jika lim (xn) = + ∞, dan jika diberikan α∈R, maka terdapat bilangan asli K(α) sedemikian sehingga jika n    K(α), maka   α < xn. Mengingat (*), berarti  α < yn untuk semua n  ≥  K(α). Karena α sebarang, maka ini menyatakan bahwa lim (yn) = + ∞.    Pembuktian bagian (b) dilakukan dengan cara yang serupa.
Remakkan :(a). Teorema 3.6.4 pada akhirnya benar jika syarat (*) pada akhirnya benar; yaitu, jika terdapat  m ∈N       sedemikian sehingga xn .≤   yn untuk semua n ≥ m(b). Jika syarat (*) dari teorema 3.6.4 memenuhi dan jika lim (yn) = + ∞, tidak mesti berlaku bukan lim   (xn) = +∞ . Serupa juga, jika (*) dipenuhi dan jika lim (xn) = - ∞, belum tentu berlaku lim (yn) = - ∞ . Dalam pemakaian teorema 3.6.4 untuk menunjukkan bahwa suatu barisan menuju ke + ∞    [atau ke - ∞ ] kita perlu untuk menunjukkan bahwa suku-suku dari barisan ini adalah pada akhirnya lebih besar dari [atau lebih kecil] atau sama dengan suku-suku barisan lain yang bersesuaian dimana barisan lain kita ketahui bahwa menuju ke + ∞ [atau ke - ∞].
Karena kadang-kadang sangat sulit untuk memperlihatkan ketaksamaan seba- gaimana (*), maka “Teorema Perbandingan Limit” berikut masing-masing lebih tepat untuk digunakan daripada Teorema 3.6.4.3.6.5. Teorema. Misalkan (xn) dan (yn) dua barisan bilangan real positif dan ang-
gaplah bahwa untuk suatu L ∈ R, L > 0, kita mempunyai
 (#)                               lim   (x_n/y_n ) = L
Maka lim (xn) = + ∞ jika dan hanya jika lim (yn) = + ∞
Bukti : 
Jika (#) berlaku, maka terdapat K ∈ N sedemikian sehingga 
1/2 L<x_n/y_n <3/2 L untuk semua n K
Dari sini kita mempunyai (1/2 L) y_n<x_n<(3/2 L) y_n  untuk semua n K. Sekarang kesimpu- landidapat dari suatu modifikasi kecil teorema 3.6.4. Detailnya ditinggalkan untuk dikerjakan oleh pembaca.
Pembaca dapat menunjukkan bahwa konklusi tidak perlu berlaku jika L = 0atau L = + . Akan tetapi ada suatu hasil parsial belum dapat ditunjukkan dalam kasus-kasus ini, seperti telah diperlihatkan dalam