KRITERIA CAUCHY

 KATA PENGANTAR

            Segala puji bagi AllahTuhan Semesta Alam yang telah memberi karunia berupa buah pikiran. Segala puji allah yang memberi iradah, kehendak, sehingga kami bisa membuat makalah ini.  Yaitu sebagai rasa syukur kami, sebagai hamba-Nya. Shalawat dan salam bagi junjungan kita Nabi mulia, Muhammad Rasulullah SAW, keluarga, sahabat, dan semua umatnya.
Terima kasih kepada seluruh teman-teman yang telah memberikan masukan demi kesempurnaan makalah yang kami buat.tiada gading yang tak bisa retak demikian pula makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Maka dari pada kami mohon atas saran dan krtikannya dari para pembaca guna penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua orang yang membacanya dan semoga amal-amal baik kami selalu di catat di sisi Allah SWT.

Penyusun

KELOMPOK II

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Dalam mata kuliah ANALISA REAL I, mata kuliah yang mempelajari dan mengasah intelektual mahasiswa matematika, terdapat sub bab yang bertemakan KRITERIA CAUCHY, akan menjadi topik pembahasan yang akan  kita angkat.
Pembatasan Masalah
Dari sekian permasalahan yang ada tidak mungkin penulis dapat membahasnya secara keseluruhan, karena mengingat kemampuan yang ada baik intelektual, biaya dan waktu yang dimiliki penulis sangat terbatas. Maka penulis perlu memberikan batasan-batasan masalah.
Pembatasan masalah diperlukan untuk memperjelas permasalahan yang ingin dipecahkan.
Oleh karena itu, penulis memberikan batasan sebagai berikut :
1. Apa pengertian KRITERIA CAUCHY ?
3. Bagaimana teorema KRITERIA CAUCHY?
PERUMUSAN MASALAH
Perumusan masalah yang akan dijabarkan adalah sebagai berikut :
KRITERIA CAUCHY (definisi dan contoh soal)
TUJUAN PENULISAN
Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti sub bab tentang KRITERIA CAUCHY.
Dan tujuan lainnya adalah agar mahasiswa lainnya yang membutuhkan data tentang materi ini dapat terbantu.


MANFAAT PENULISAN
Semoga penulisan makalah yang bertemakan KRITERIA CAUCHY ini dapat membantu dan bermanfaat bagi teman-teman mahasiswa, dan yang lainnya.
 
BAB II
PEMBAHASAN
3.5 KRITERIA CAUCHY
3.5.1 Definisi
 Barisan bilangan real X= (xn), n ∈ N disebut barisan Cauchy  jika untuk setiap ɛ ≥ 0 ada bilangan asli H(ɛ) sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli n, m diperoleh│xn-xm│ < ɛ.
Secara simbolik dapat ditulis:
X= (xn) Cauchy ⇔ (∀ ɛ>0) (∃H(ɛ) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│ < ɛ].
3.5.2 Lemma
Jika barisan bilangan real X= (xn) , n ∈ N konvergen maka X adalah barisan Cauchy.
Bukti :
Adib : X= (xn) , n ∈ N konvergen⇒ X= (xn) , n ∈ N konvergen maka X adalah barisan Cauchy.
Ambil ɛ>0 sembarang
Karena X= (xn) , n ∈ N konvergen maka lim (xn) ada.
Misalkan lim (xn) = x
(xn)→x ⇒(∀ ɛ>0) (∃K(ɛ/2) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n ≥ K(ɛ/2) ⇒│xn-x│ <ɛ/2].





Pilih H(ɛ) = K(ɛ/2). Sehingga untuk n, m ≥ H(ɛ) maka diperoleh
│xn-xm│= │(xn-x ) + (x-xm)│≤ │xn-x│+ │xm-x│
< ɛ/2 +  ɛ/2  = ɛ
... (∀ ɛ>0) (∃H(ɛ) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│ < ɛ].
... X=(xn) , n ∈ N adalah barisan Cauchy.

3.5.3 Lemma
Barisan chaucy adalah barisan terbatas.
Adib : (∃M ∈ R) M>0 ∋ │xn│≤ M, (∀n∈N)
Misalkan X=(xn) barisan chaucy
X=(xn) Chaucy ⇔ (∀ ɛ>0) (∃H(ɛ) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│ < ɛ].
Karena berlaku untuk sebarang ɛ>0 maka untuk ɛ =1 terdapat H=H(1) dan n≥H sedemikian sehingga berlakulah │xn-xH│≤ 1.
dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
│xn│≤ │xH│+ 1, n ≥ H.
pilih M = sup {│x1│, │x2│,…, │x H-1│, │xH│+ 1}
Berarti (∃ M > 0 ) ∋ │xn│≤ M, ∀ n ∈ N.
...  X=(xn) terbatas




3.5.4 Lemma
Jika X=(xn) barisan chaucy maka X=(xn) barisan konvergen.
Bukti ;
X=(xn) barisan chaucy maka berdasarkan lemma 3.5.3 bahwa barisan tersebut adalah terbatas. Sementara menurut teorema 3.4.3 (Bolzano Weierstrass) barisan yang terbatas pasti memiliki paling sedikit satu sub barisan yang konvergen.
Misalkan sub barisan X=(xn) adalah X’=(xnk) yang konvergen ke x*
Adit : bahwa X konvergen ke x*
Ambil ɛ>0 sembarang
X=(xn) chaucy ⇔ (∀ ɛ>0) (∃H(ɛ) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│ < ɛ].
Juga berlaku
(∀ ɛ>0) (∃H(ɛ/2) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ/2) ⇒│xn-xm│ < ɛ/2]………..(*)
Karena X’=(xnk) konvergen ke x*  maka terdapat bilangan asli K≥ H(ɛ/2) ∋ │xn-x*│< ɛ/2, ∀ n, m ≥ H(ɛ/2) .
karena K≥ H(ɛ/2) maka dapat dipilih m=K sehingga persamaan (*) dapat ditulis
(∀ ɛ>0) (∃H(ɛ/2) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ/2) ⇒│xn-xm│ < ɛ/2]
Selanjutnya jika n≥ H(ɛ/2) maka diperoleh
│xn-x*│= │(xn-xk) + (xk-x*)│
 ≤ │xn-xk│+ │xk-x*│
 <ɛ/2 + ɛ/2  = ԑ
...  (∀ ɛ>0) (∃H(ɛ/2) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ/2) ⇒│xn-x*│ < ɛ/2]
... lim (xn) = x*
... X=(xn) konvergen.
3.5.5. Beberapa Contoh
(a) Barisan (1/n) konvergen.
Tentu saja kita telah membuktikan bahwa barisan ini konvergen ke 0 pada
3.1.7(a). Tetapi untuk menunjukkan secara langsung bahwa barisan ini Cauchy, kita
catat bahwa bila diberikan sebarang > 0. maka terdapat H = H()N, sehingga H >
2/ԑ(Mengapa?). Dari sini, bila m,n H, maka
|1/n-1/m≤1/n+1/m≤2/H<ԑ|
Karena > 0 sebarang, maka (1/n) barisan Cauchy; berdasar kriteria Konvergensi
(b). Misalkan X = (xn) didefinisikan dengan
X1 = 1, X2 = 2 dan xn=  1/2 xn-2+ xn-1untuk n > 2.
Dapat ditunjukkan dengan induksi bahwa 1 xn 2 untuk semua nN. Beberapa
perhitungan menunjukkan bahwa barisan x tidak menoton. Tetapi, karena sukusukunya
diperoleh dari rata-rata, mudah dilihat bahwa
|x_n- x_(n+1) |=1/2^(n-1)  untuk nN
(Buktikan dengan induksi) Jadi, bila m > n, kita dapat menggunakan ketaksamaan
segitiga untuk memperoleh
|x_n- x_m |≤|x_n- x_(n+1) |+|x_(n+1)- x_(n+2) |+⋯+|x_(n-1)- x_m |
=1/2^(n-1) +1/2^n +⋯+1/2^(m-2)
=1/2^(n-1)  (1+1/2+⋯+1/2^(m-n-1) )<1/2^(n-2)




Karena itu, bila diberikan > 0, dengan memilih n yang begitu besar sehingga
1/2^n <ԑ/4  dan bila M n, maka |x_n- x_m |. Karenanya, X barisan Cauchy. Dengan
menggunakan Kriteria Cauchy 3.5.4 diperoleh barisan X konvergen ke suatu bilangan
x.
Untuk mencari nilai x, kita harus menggunakan aturan untuk definisi
x_n=1/2 〖(x〗_(n-1)+x_(n-2)) yang akan sampai pada kesimpulan x=1/2(x+x)
, yang memang benar, tetapi tidak informatif. Karena itu, kita harus mencoba cara yang lain.
Karena X konvergen ke x, demikian juga halnya subbarisan X’ dengan indeks
ganjil. Menggunakan induksi pembaca dapat menunjukkan bahwa [lihat 1.3.3 (c)]
x_(2n+1)=1+1/2+⋯+1/2^(2n-1)

                                                                  =1+2/3 (1-1/4^n )
Dari sini diperoleh bahwa (bagaimana ?) x = lim X = lim X’ = 1+2/3=5/3
 (c) Misalkan Y = (y_n) barisan dengan
y_1=1/1!,y_2=1/1!-1/2!,… ,y_n=1/1!-1/2!+ …+〖(-1)〗^(n+1)/n!,…

Jelaslah, Y bukan barisan monoton. Tetapi, bila m > n, maka
y_m-y_n=〖(-1)〗^(n+2)/((n+1)!)+〖(-1)〗^(n+3)/((n+2)!)+⋯+〖(-1)〗^(m+1)/m!
Karena 2r-1 r! [lihat 1.3.3 (d)], karenanya bila m > n, maka (mengapa ?)
|y_m-y_n |≤1/((n+1)!)+1/((n+2)!)+⋯+1/m!
        ≤1/2^n +1/2^(n+1) +⋯+1/2^(n-1) .

Karena itu, (yn) barisan Cauchy, sehingga konvergen, katakan ke y, saat ini kita tidak
dapat menentukan nilai y secara langsung; kita mempunyai |y_m-y|≤1/2^(n-1) .
dari sini, kita dapat menghitung nilai y sampai derajat akurasi yang diinginkan dengan
menghitung yn untuk n yang cukup besar. Pembaca sebaiknya mengerjakan hal ini dan
menunjukkan bahwa y sama dengan 0.632 120 559. (Tepatnya y adalah 1- 1/ε
(d) Barisan(1/1+1/2+1/3+⋯+1/n) divergen.
Misalkan H = (h_n) barisan yang didefinisikan dengan h_n=1/1+1/2+⋯+1/n
Untuk  nN, yang telah dibahas pada 3.3.3 (b). Bila m > n, maka h_m-h_n=1/(n+1)+⋯+1/m.
Karena masing-masing suku m-n ini melebihi 1/m,maka h_m-h_n.>  (m-n)/n=1-n/m.
Khususnya, bila m = 2n kita mempunyai  h_2n-h_n>1/2.Hal ini menunjukkan bahwa H
bukan barisan Cauchy (mengapa ?); karenanya H bukan barisan konvergen.
3.5.6. Definisi. Barisan X = (x_n) dikatakan kontraktif bila terdapat konstanta C, 0 <
C < 1, sehingga |x_(n+2)-x_(n+1) |≤|x_(n+1)-x_n |   untuk semua nN. Bilangan C disebut
konstanta barisan kontraktif tersebut.

3.5.7. Teorema. Setiap barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, karenanya konvergen.
Bukti :
Bila kita menggunakan kondisi barisan kontraktif, kita dapat membalik langkah
kerja kita untuk memperoleh:
Aljabar Himpunan
|x_(n+2)-x_(n+1) |≤C|x_(n+1)-x_n | C^2 |x_n-x_(n-1) |
                                               ≤C^3 |x_(n-1)-x_(n-2) |≤⋯≤C^n |x_2-x_1 |

untuk m > n, kita mempunyai
|x_m-x_n |≤|x_m-x_(m-1) |+|x_(m-1)-x_(m-2) |+⋯+|x_(n+1)-x_n |
≤〖(C〗^(m-2)+C^(m-3)+⋯+C^(n-1)) |x_2-x_1 |
         =C^(n-1) (C^(m-n-1)+C^(m-n-2)+⋯+1)|x_2-x_1 |
                                             =〖 C〗^(n-1) ((1-C^(m-1))/(1-C))|x_2-x_1 |
                                                   ≤C^(n-1) (1/(1-C) |x_2-x_1 |
Karena 0 < C < 1, maka lim(Cn) = 0 [lihat 3.1.11(c)]. Karena itu (xn) barisan Cauchy,
sehingga (xn) konvergen.
Dalam proses menghitung limit dari barisan kontraktif, sering sangat penting
untuk mengestimasi kesalahan pada tahap ke-n. Berikut ini kita memberikan dua estimasi;
pertama melibatkan dua suku kata pertama dan n; yang kedua melibatkan
selisih xn-xn-1.
3.5.8. Akibat. Bila x = (xn) bariasan konstraktif dengan konstanta C, 0 < C < 1, dan x*
= lim X, maka :
(i). |x^*-x_n |≤C^(n-1)/(1-C) |x_2-x_1 |
(ii). |x^*-x_n |≤C/(1-C) |x_n-x_(n-1) |
Bukti :
Kita telah melihat pada bukti terdahulu bahwa bila m>n, maka|x_m-x_n |≤C^(n-1)/(1-C) |x_2-x_1 |
Bila kita menggunakan limit pada ketaksamaan ini (terhadap m), kita
peroleh (i).


Untuk membuktikan (ii), kita gunakan lagi m > n, maka
|x_m-x_n |≤|x_m-x_(m-1) |+⋯+|x_(n+1)-x_n |
Dengan induksi diperoleh
|x_(n+k)-x_(n+k-1) |≤C^k |x_n-x_(m-1) |
Karenanya
|x_m-x_n |≤〖(C〗^(m-n)+⋯+C^2+C)|x_n-x_(n-1) |
Bila kita menggunakan limit pada ketaksamaan ini (terhadap m) diperoleh (ii).
3.5.9. Contoh.
Diketahui solusi dari x3 - 7x + 2 = 0 terletak antara 0 dan 1 dan kita akan
mendekati solusi tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan prosedur iterasi
berikut. Pertama kita tuliskan persamaan di atas menjadi x = 1/7(xn3+2) dan gunakan ini untuk mendefinisikan barisan, kita pilih x, sebarang nilai antara 0 dan 1,
kemudian definisikan
xn+1 = 1/7(x3n+2) , nN
Karena 0< x1 < 1, maka 0< xn <1 untuk semua nN. (Mengapa?) lebih dari itu kita
Mempunyai
|x_(n+2)-x_(n+1) |=| 1/7(x3n+1+2)-  1/7(x3n+1+2)|
= 1/7|x3n+1- x3n|
=1/7|x2n+1+xn+1xn+ x2n)||xn+1-xn|
≤3/7)|xn+1-xn|


Karena itu, (xn) barisan kontraktif, sehingga terdapat r dengan lim (xn) = r. Bila kita
menggunakan limit pada kedua sisi (terhadap n) pada xn+1 == 1/7(x3n), diperoleh r= 1/7(r3+2) atau r3 -7r + 2 = 0. Jadi r merupakan solusi dari persamaan tersebut.
Kita dapat mendekati nilai r dengan memilih x1 kemudian menghitung x2, x3,
..., secara berturut-turut. Sebagai contoh, bila kita memilih x1 = 0,5 kita peroleh (sampai
sembilan tempat desimal) x2 = 0,303571429, x3 = 0,289710830, x4 =
0,289188016, x5 = 0,289169244, x6 = 0,289 168 571, dan seterusnya. Untuk mengestimasi akurasi, kita catat bahwa |x2|-x1|<0,2. Jadi, setelah langkah ke n menurut
Akibat 3.5.8(i) kita yakin bahwa |x*x6|≤3^5/7^(4(20)) 0,0051. Sebenarnya
pendekatannya lebih baik dari pada ini. Karena|x6-x5|< 0,000005, menurut 3.5.8
(ii) maka|x*-x6|≤3/4|x6- x5|≤0,0000004 . Jadi kelima tempat desimal yang pertama
benar.
 
BAB III
PENUTUP

Kesimpulan
Definisi
Barisan bilangan real X= (xn), n ∈ N disebut barisan Cauchy  jika untuk setiap ɛ ≥ 0 ada bilangan asli H(ɛ) sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli n, m diperoleh│xn-xm│ < ɛ.
Secara simbolik dapat ditulis:
X= (xn) Cauchy ⇔ (∀ ɛ>0) (∃H(ɛ) ∈ N ) ∋ [(∀n, m ∈ N) n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│ < ɛ].